บทที่ 3. วงกลม

บทที่ 3. วงกลม

วงกลม(Circle)

1. วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งทุกๆ จุดบนรูปเรขาคณิตนี้อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากันเรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลาง (Center)

2. รัศมี (Radius) คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง

3. เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือความยาวเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมโดยที่ปลายทั้งสองจรดเส้นรอบวง และความยาวเป็น 2 เท่าของรัศมี

4. คอร์ด (Chord) คือ เส้นตรงภายในวงกลมโดยปลายทั้งสองจรดเส้นรอบวง และเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุด

5. เส้นตัดวงกลม (secant line) คือเส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด

6. เส้นสัมผัสวงกลม (Tangent line) คือเส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส (point of tangency)

O เป็นจุดศูนย์กลาง

OA เป็นรัศมีวงกลม

BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม

DE เป็นคอร์ดของวงกลม

L1 เป็นเส้นตัดวงกลม โดยตัดวงกลมที่จุด F และ G

L2 เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด H

7. มุมที่จุดศูนย์กลาง (Central angle) คือมุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลม เป็นจุยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

8. มุมในส่วนโค้งของวงกลม (Inscribed angle) คือมุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

9. มุมในครึ่งวงกลม คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง

   – มุม AOB เป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง O โดยมีโค้ง AXB รองรับ

 – มุม DCE เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม โดยมีโค้ง DXE รองรับ

 – มุม FCG เป็นมุมในครึ่งวงกลม

ทฤษฎีบทวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 1 มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

ทฤษฎีบทที่ 2 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก

ทฤษฎีบทที่ 3 ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 4 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากันแล้ว ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 5 ในวงกลมที่เท่ากันทุกระการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 6 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากันแล้วมุมที่จุศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 7 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากันแล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วนส่วนโค้งนั้น จะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 8 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากันแล้วคอร์ดทั้งสองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 9 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากันและส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 10 ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติดังนี้

1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ดแล้วเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด

2. ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ดแล้วส่วนของเว้นตรงจะตั้งฉากกับคอร์ด

ทฤษฎีบทที่ 11 เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

ทฤษฎีบทที่ 12 รูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่แนบอยู่ในวงกลมผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทที่ 13

1. ในวงกลมวงหนึ่งถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากันคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน

2. ในวงกลมหนึ่งถ้าคอร์ดทั้งสองเส้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน และคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 14 เส้นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส

ทฤษฎีบทที่ 15 ส่วนของเส้นตรงที่ลากมาจากจุดๆ หนึ่ง ภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะยาวเท่ากันและมีได้สองเส้น

ทฤษฎีบทที่ 16 มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุดสัมผัสจะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

แถม (ควรจำ)

1. คอร์ดสองเส้นตัดกันภายใน หรือภายนอกวงกลม

2. วงกลมแนบในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมแนบในสามเหลี่ยม

3. วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

4. รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

5. รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือ รูปที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมทุกมุมยาวเท่ากัน

สมบัติของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า (n คือจำนวนเหลี่ยม)

                                 5.1. มุมที่จุดศูนย์กลางกางมุมละ 
                                 5.2. มุมภายนอกกางมุมละ           
                                 5.3. มุมภายในกางมุมละ    
                                 5.4. ผลบวกของมุมภายในทุกมุม   

6. จำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยม

7.เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอด มุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้ามจะพบกับที่จุดๆ หนึ่งเสมอ เรียกจุดนี้ว่า ออร์โทเซนเตอร์ (Orthocentre)