คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3: บทที่ 2. ระบบสมการ

เรื่องระบบสมการนี้ เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้นม.3 ในเทอม 2 เรื่องนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับการแก้ระบสมการเพื่อคำตอบของระบบสมการ ซึ่งในการหาคำตอบของระบบสมการนั้น มีอยู่สองวิธีหลักๆ น่ะ บางคนอาจจะบอกว่ามีหลายวิธีแต่สำหรับผมแล้ว 2 วิธีก็เพียงพอแล้วสำหรับในการหาคำตอบของระบบสมการในระดับชั้น ม.3 นี้

วิธีที่ 1 คือ การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปร

วิธีที่ 2 คือ การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปร

พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้แล้วกันคับ มันไม่ได้ยากเลย จับจุดให้ได้น่ะ ผมจะพยายามเขียนให้ละเอียดที่สุดเริ่มกันเลยดีกว่า

เดี๋ยวก่อน ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3 เล่มสอง ของ สสวท. จะเห็นว่าคำอยู่สองคำที่อยากจะแนะนำให้พวกเราคนอ่านบทความนี้ได้รู้จัก ก็คือ

1. สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือ สมการที่มีรูปแบบทั่วไปดังนี้ $Ax+By+C=0$ ยกตัวอย่างเช่น

$5x+4y+3=0$

$4x-7y-2=0$

$5x+2=4y$

$8x=2$

$4y=16$

พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการเชิงเส้นหรือเปล่าก็คือดูที่เลขชี้กำลังของตัวแปร x หรือ ตัวแปร y เลขชี้กำลังต้องเป็น 1 เท่านั้นคับ

2. สมการดีกรีสอง

สมการดีกรีสอง คือ สมการที่มีรูปแบบทั่วไปคือ $Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$ ตัวอย่างเช่น

$3x^{2}+2y^{2}+8xy+3x+9y+2=0$

$3x^{2}+4y^{2}+3x=0$

$3y^{2}+x^{2}=12$

$y^{2}+3=0$

พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการดีกรีสองหรือเปล่าให้ดูที่เลขชี้กำลังของ x หรือ y คือเลขชี้กำลังสูงสุดของ x หรือ y ต้องเป็นสองคับ

จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1. $x+y=2$

$y-x^{2}=0$

วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อน เพื่อสะดวกในการอ้างอิงไปใช้งาน

$x+y=2$ ชื่อว่าสมการ..............(1)

$y-x^{2}=0$ ชื่อว่าสมการ...........(2)

จากสมการที่ (1) คือ $x+y=2$ ทำการโมดิฟายปรับเปลี่ยนย้ายข้างสมการที่ (1) นิดหนึ่งจะได้

$y=2-x$

ตอนนี้เรารู้ค่าของ y คือ y มีค่าเท่ากับ 2-x

ต่อไปเราก็ แทน y ด้วย 2-x ในสมการที่ (2)

สมการที่ (2) คือสมการนี้ $y-x^{2}=0$ ตรงไหนมี y เราก็จัดการเปลี่ยนให้เป็น 2-x ก็จะได้

$2-x-x^{2}=0$ ต่อไปจัดรูปสมการใหม่นิสหนึ่ง จัดโดยเรียงจากพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดไปหาต่ำสุดก็จะได้

$-x^{2}-x+2=0$ จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์หน้าเอ็กซ์ยกกำลังสองเป็นจำนวนลบ ซึ่งผมไม่ชอบเลยลบเนียะ ผมอยากเปลี่ยนให้มันเป็นบวก ผมก็เลยเอา (-1) คูณเข้าทั้งสองฝั่งของสมการ ก็จะได้

$(-1)(-x^{2}-x+2)=0(-1)$

$x^{2}+x-2=0$

ขั้นตอนต่อไปเราก็ต้องใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาช่วยในแยกตัวประกอบของ $x^{2}+x-2=0$

ต้องแยกออกมาให้ได้น่ะคับ ก็จะได้

$x^{2}+x-2=0$

$(x+2)(x-1)=0$ จากตรงนี้จะเห็นว่า (x+2) คูณกับ (x-1) แล้วมีค่าเท่ากับ 0 สองพจน์คูณกันแล้วได้ 0 ก็หมายความว่า

$x+2=0$ หรือ $x-1=0$

จาก $x+2=0$ จะได้

$x=0-2$

$x=-2$

และจาก $x-1=0$ จะได้

$x=0+1$

$x=1$

นั่นคือตอนนี้ เราได้ค่า x สองค่า คือ x=-2 และ x=1 ต่อไปหาค่า y คับ เขียนมาถึงตรงนี้ความรู้สึกมันบอกตัวเองว่าเขียนยืดยาวเกินไปกลัวเหลือเกินว่า จะอ่านแล้วไม่เข้าใจกัน

ต่อไปหาค่า y น่ะ

แทน x ด้วย -2 ในสมการที่ (1) หรือ สมการที่ (2) ก็ได้น่ะเลือกเอาสมการที่ง่ายๆ ผมเลือกแทนลงไปในสมการที่ (1) จะได้

$-2+y=2$

$y=2+2$

$y=4$

นั่น ถ้า x=-2 จะได้ y=4

ต่อไป แทน x ด้วย 1 ในสมการที่ (1) จะได้

$1+y=2$

$y=2-1$

$y=1$

นั่นคือ ถ้า x=1 จะได้ y=1

ตอบ คำตอบของระบบสมการนี้คือ (-2,4) และ (1,1)

วันนี้เอาแค่นี้ก่อนน่ะคับ พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้น่ะคับ สำหรับข้อ 1 ผมแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปรน่ะคับ คือ แทน y ด้วย 2-x พอแทนเสร็จแล้วก็จะได้ค่า x แล้วเราก็นำค่า x ที่เราได้ไปแทนค่ากลับอีกทีในสมการที่ (1) หรือ (2) เพื่อหาค่า y ออกมาอีกทีหนึ่งคับ ...โชคดีคับ เดี๋ยวข้อ 2 จะมาเขียนต่อพรุ่งนี้คับ

ต่อไปเริ่มทำข้อสองน่ะคับ

2. $x^{2}-y=0$

$2x-y=1$

วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนน่ะคับ

$x^{2}-y=0$ ชื่อว่าสมการที่ (1)

$2x-y=1$ ชื่อว่าสมการที่ (2)

ข้อสังเกตน่ะคับ จากสมการที่ (1) และ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ -y ดังนั้นถ้าจับสมการที่ (1) ลบ สมการที่ (2) ทั้งสองพจน์นี้ก็จะหักล้างกันเป็นศูนย์นั่นคือ ตัวแปร y หมดไป เรียกว่า การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปรนั่นเองคับ เริ่มเลยน่ะ

นำสมการที่ (1) - สมการที่ (2) จะได้

$(x^{2}-y)-(2x-y)=0-1$ นำฝั่งซ้ายของสมการที่(1)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(2) และ นำฝั่งขวาของสมการที่(1)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่ (2) น่ะคับ ลบกันเลยคับ

$x^{2}-y-2x+y=-1$ เอาเครื่องหมายลบกระจายเข้าไปข้างในวงเล็บคับและจากบรรทัดนี้จะเห็นว่า -y+y มีค่าเท่ากับ 0 นั่นคือ ตัวแปร y หายไปหรือว่าหมดไป ต่อไปก็จะได้

$x^{2}-2x=-1$ จุดรูปสมการใหม่นิดหนึ่ง คือทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0 ก็จะได้

$x^{2}-2x+1=0$ ต่อไปก็ทำการแยกตัวประกอบคับ แยกเป็นสองวงเล็บคูณกันคับเคยเรียนมาแล้วน่ะไม่ขออธิบายตรงนี้ ก็จะได้

$(x-1)(x-1)=0$ จากบรรทัดนี้ก็จะได้

$x-1=0$ แก้สมการหาค่าของ x ต่อจะได้

$x=0+1$

$x=1$

นั่นคือ เราได้ค่าของ x แล้ว คือ x=1 ต่อไปหาค่า y คับ

แทน x ด้วย 1 ในสมการที่ (2) จะได้

$2(1)-y=1$

$2-y=1$

$-y=1-2$

$-y=-1$

นำ (-1) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการจะได้

$(-1)(-y)=(-1)(-1)$

$y=1$

นั่นคือ ถ้า x=1 จะได้ y=1 เช่นกัน

ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (1,1)

3. $x^{2}+y^{2}=25$

$3x-4y=0$

วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ

$x^{2}+y^{2}=25$ ชื่อว่าสมการที่ (1)

$3x-4y=0$ ชื่อว่าสมการที่ (2)

ข้อนี้จะเห็นว่าทั้งสองสมการ ไม่มีพจน์ที่เหมือนกันเลย ฉนั้นใช้วิธีการกำจัดตัวแปรไม่ได้เลย แต่ใช้วิธีการแทนค่าได้คับ

จากสมการที่ (2) คือ

$3x-4y=0$ ทำการย้ายข้างจัดสมการนิดหนึ่งคับ ก็จะได้

$-4y=0-3x$

$-4y=-3x$

$y=\frac{-3x}{-4}$

$y=\frac{3x}{4}$ นั่นคือตอนนี้เรารู้ค่าของ y แล้วว่ามีค่าเท่ากับ $\frac{3x}{4}$

ต่อไปแทน y ด้วย $\frac{3x}{4}$ ในสมการที่ (1) จะได้

$x^{2}+\left(\frac{3x}{4}\right)^{2}=25$

$x^{2}+\frac{9x^{2}}{16}=25$

$\frac{16x^{2}+9x^{2}}{16}=25$

$\frac{25x^{2}}{16}=25$

$25x^{2}=25\times 16$

$x^{2}=\frac{25\times 16}{25}$ ตัดทอนเอาเองน่ะ

$x^{2}=16$ อะไรเอ่ยยกกำลังสองแล้วได้ 16

$x=\pm 4$

ตอนนี้เราได้ค่า x สองค่า คือ x=4 และ x=-4 ต่อไปหาค่า y คับ

แทน x ด้วย 4 ในสมการที่ (2) จะได้

$3(4)-4y=0$

$12-4y=0$

$-4y=-12$

$y=\frac{-12}{-4}$

$y=3$

นั่นคือ ถ้า x=4 จะได้ y=3

แทน x ด้วย -4 จะได้

$3(-4)-4y=0$

$-12-4y=0$

$-4y=12$

$y=\frac{12}{-4}$

$y=-3$

นั่นคือ x=-4 จะได้ y=-3

ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (4,3) และ (-4,-3) แก้ไขให้แล้วน่ะคับข้อ 3

จากที่ผมยกตัวอย่างให้ดูข้างต้นเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

ต่อไปที่จะยกตัวอย่างให้ดูเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ ไม่ว่าระบบสมการจะประกอบไปด้วยสมการอะไรก็ตามวิธีในการแก้ระบบสมการก็ใช้วิธีการเดิมๆ คือ

1.วิธีการกำจัดตัวแปร

2.วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร

หากเราอ่านแล้วพยายามทำความเข้าใจไปด้วยจะเห็นว่าเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ง่ายมากเลยคับ และสนุกและท้าทาย พยายามทำเองให้ได้คับ ไม่ต้องกลัวผิดน่ะ ทำตามความเข้าใจเรา...ไม่ต้องกลัว...ต้องมั่นใจว่าเราทำตามหลักการแล้ว...ยังไงก็ต้องถูกแน่นอน... ผมจะขอยกตัวอย่างให้พวกเราได้อ่านและทำความเข้าใจกันน่ะคับ...

1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1.1 $x^{2}+y^{2}=4$

$4x^{2}+9x^{2}=36$

วิธีทำ แน่นอนคับต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ

$x^{2}+y^{2}=4$ สมการที่ (1)

$4x^{2}+9x^{2}=36$ สมการที่ (2)

ผมจะเอา 4 คูณเข้ากับสมการที่ (1) น่ะ ทำไมผมถึงเอา 4 คูณเข้าผมจะยังไม่เฉลยอยากให้คิดตามว่าทำไม ตัวเลขมีมากมายทำไมต้องเอา 4 คูณเข้าด้วย

นำ 4 $\times$ (1) จะได้

$4(x^{2}+y^{2})=4(4)$ เวลาคูณต้องคูณทั้งสองข้างของสมการน่ะ คูณเข้าเลยน่ะจะได้

$4x^{2}+4y^{2}=16$ ตั้งชื่อให้ใหม่ชื่อว่าสมการที่ (3)

จะเห็นว่าสมการที่ (3) กับสมการที่ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ $4x^{2}$ ที่นี้รู้หรือยังว่าทำไมผมถึง เอา 4 คูณเข้ากับสมการที่ (2) เพราะว่าผมจะทำให้มีพจน์ที่เหมือนกัน พอมีพจน์ที่เหมือนกันแล้วผมจะจับสมการทั้งสองลบกัน พอลบกันพจน์ที่เหมือนกันลบกันก็จะได้เป็น 0 นั่นคือเราสามารถกำจัดตัวแปรออกได้ มาดูวิธีการทำต่อกันดีกว่าคับ...

นำ สมการที่ (2) - สมการที่ (3) จะได้

$(4x^{2}+9y^{2})-(4x^{2}+4y^{2})=36-16$ ตรงนี้ไม่งงน่ะ คือนำฝั่งซ้ายของของสมการที่(2)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(3) และนำฝั่งขวาของสมการที่(2)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่(3) จะได้

$4x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=20$ เอาลบคูณเข้าไปข้างในวงเล็บน่ะ จะเห็นว่าบรรทัดนี้ สี่เอ็กซ์กำลังสองลบกับสี่เอ็กซ์กำลังสองเหลือศูนย์นั่นคือตัวแปรเอ็กซ์หายไป ต่อไปเราก็แก้สมการหาค่าของตัวแปรวายได้